Sifat-Sifat Himpunan

Sifat-sifat himpunan (Lanjutan)
1. komutatif : i. P ∩ Q = Q ∩ P; ii. P ∪ Q = Q ∪ P
2. i. assosiatif terhadap irisan : (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)
ii. assosiatif terhadap gabungan : (P ∪ Q) ∪ R = . P ∪ (Q ∪ R)
3. i. distributif irisan terhadap gabungan: P∩(Q∪R) = (P∩Q) ∪ (P∩R)
ii. distributif gabungan terhadap irisan: P∪(Q∩R) = (P∪Q) ∩ (P∪R)
4. idempoten : i. P ∪ P = P ; ii. P ∩ P = P
5. involusi : (Pc)c = P
6. hukum demorgan : i. (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc; ii. (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc
7. P – Q = P ∩ Qc
8. i. P ⊂ (P ∪ Q) ; ii. Q ⊂ (P ∪ Q)
9. i. (P ∩ Q) ⊂ P; ii. (P ∩ Q) ⊂ Q
10. i. jika P⊂ Q maka P ∩ Q = P ; ii. jika P⊂ Q maka P ∪ Q = Q
11. Identitas : i. P ∪ φ = P; ii. P ∪ S = S; iii. P ∩ φ = φ
iv. P ∩ S = P dengan S = himpunan semesta
12. Hukum komplemen : i. P ∪ Pc = S; ii. P ∩ Pc = φ;
iii. Sc = φ; iv. Pc = φ; φc = S
13. P – Q ⊂ P
14. P – Q ≠ Q – P , bila P ≠ Q
15. Jika P ⊂ Q maka Qc ⊂ Pc.
16. Jika P ⊂ Q maka P – Q = φ
Beberapa Contoh Bukti Matematis (bukti formal) dari sifat-sifat di atas :
♦ Bukti no 7 : P – Q = P ∩ Qc
P – Q = { x | x ∈ P ∧ x ∉ Q } = { x | x ∈ P ∧ x ∈ Qc} = P ∩ Qc
♦ Bukti no 10 i. sudah dibuktikan di pertemuan 7.
♦ Bukti no. 16. :
Diketahui P ⊂ Q artinya ∀a∈P maka a ∈ Q
Akan dibuktikan P – Q = φ
Bukti dengan pengandaian :
Andaikan tidak benar bahwa P – Q = φ berarti P – Q ≠ φ
Maka ∃ x ∈ P – Q sehingga x∈P dan x∉Q
Dari yang diketahui jika x∈P maka x∈Q
Jadi, x∈P maka x∈Q dan x∉Q (kontradiksi)
Karena diperoleh kontradiksi, berarti pengandaian salah dan yang
benar adalan P – Q = φ.
♦ Sifat yang belum dibuktikan sebagai latihan mahasiswa dan bukti yang
dirasa sulit oleh hampir semua mahasiswa akan dibuktikan bersamasama,
dan jika belum selesai dapat sebagai tugas mandiri (kelompok).
Hal-hal penting dalam pembuktian :
􀂾 Bukti Langsung
1. jika pembuktian berupa implikasi maka yang harus dilakukan adalah :
- antiseden diasumsikan benar (karena jika antiseden salah maka
implikasi pasti bernilai benar, sehingga tidak perlu dibuktikan)
- dari definisi atau sifat yang terkait dengan antisedennya, diturunkan
(disimpulkan) konsekuennya. Dan jika tidak dapat dibuktikan
benarnya konsekuen berarti bahwa implikasi tersebut tidak terbukti
2. Jika pembuktian berupa kesamaan himpunan, misalnya A = B maka
haruslah dibuktikan bahwa : A ⊂ B dan B ⊂ A (dengan no. 1. di atas).
Ada cara lain yang mungkin bisa dilakukan jika masing-masing A dan
B memiliki definisi, yaitu :
3. Jika pembuktian berupa biimplikasi, misalnya p ⇔ q maka haruslah
dibuktikan dengan dua arah ke kanan (⇒) dan ke kiri (⇐). Arah kanan
artinya diketahui p dan dibuktikan q, sebaliknya ke kiri artinya
diketahui q dan dibuktikan p. Baik arah kanan maupun kiri digunakan
no. 1. di atas.
􀂾 Bukti tak langsung
a. pembuktian berupa implikasi dengan cara tidak langsung adalah
menggunakan kontraposisinya.
b. Bukti tak langsung dengan cara pengandaian (Reductio ad absurdum),
misalkan akan dibuktikan pernyataan p maka prinsipnya adalah :
- Diandaikan tidak p (~ p)
- Sesuai dari ~p, dicari suatu kontradiksi (q ∧~q) dengan q adalah
definisi, sifat atau teorema sesuai dengan yang diketahui dari suatu
pembuktian tersebut
- Jika ditemukan suatu kontradiksi, berarti pengandaian salah dan
yang benar adalah p. dengan kata lain terbuktilah p.

CATATAN :
- bedakan kesamaan (=) dengan ekuivalensi atau biimplikasi (⇔). Dua
symbol tersebut tidak dapat saling ditukarkan penggunaannya.
- Pembicaraan selanjutnya dan juga semua matakuliah matematika
baik analisis, aljabar, statistika maupun ilmu computer tidak ada
yang tanpa menggunakan logika dan himpunan.
Tugas mandiri : membuktikan sifat-sifat himpunan dengan berbagai cara
yang mungkin

m.luluk@yahoo.com